A utilização de modelos matemáticos dinâmicos de ordem reduzida (DMM) em análises dinâmicas lineares em nível de sistema é uma prática bem conhecida que permite eficiências computacionais extremas. Mas e quanto à dinâmica de sistemas não lineares? Os DMMs de ordem reduzida encontraram seu caminho na dinâmica de contato. O engenheiro não deve ir além da metodologia de análise de separação de pastilhas da Henkel-Mar para verificar esse fato. Aplicações mais sofisticadas de DMMs em dinâmica de contato são possíveis quando certos padrões de geometria repetitiva estão presentes. Por exemplo, a Figura 1 mostra um tipo de tubo conhecido como tubo “flexível” usado pela indústria submarina. Este projeto apresenta quatro camadas de fios de aço enrolados helicoidalmente que proporcionam ao tubo seu comportamento de aderência/deslizamento durante a flexão, permitindo assim uma vida útil mais longa à fadiga em ambientes oceânicos adversos. Com essas camadas de armadura enroladas helicoidalmente apresentando uma topologia de contato repetitiva, as superfícies de contato podem ser construídas e rastreadas, permitindo que a lógica de fricção opere, resultando no gráfico de momento-curvatura histerético de fricção fornecido na Figura 1 (topo).
Como pode ser visto na Figura 1, o tubo foi submetido a muitos ciclos de flexão e executado essencialmente em um cálculo em tempo real. Um único ciclo de curvatura do mesmo tubo em resolução completa do modelo de elementos finitos (FEM) (ou seja, sem uso de DMMs) exigiria 48 horas de computação em 36 unidades centrais de processamento (CPUs) rodando em paralelo, dada a ordem muito grande do FEM.
Que tal utilizar DMMs para dinâmicas não lineares computacionalmente eficientes envolvendo grandes deslocamentos e rotações? Antes de abordar esta questão, a transformação de limites mistos de flexibilidade residual (RFMB1) deve ser definido. A transformação de coordenadas RFMB é dada da seguinte forma:
A transformação é uma mistura das seguintes submatrizes: modos de restrição (ψ) devido a deslocamentos unitários nos graus de liberdade (DoFs) limites do conjunto b que permanecem fixos durante o problema de autovalor, flexibilidade residual (g) devido a forças unitárias nos DoFs do limite do conjunto c que permanecem livres durante o problema de autovalor e um conjunto truncado de modos normais (φ) calculado com os DoFs do conjunto b restritos. Pode ser mostrado que a transformação mantém total flexibilidade nos DoFs físicos do DMM e mantém toda a dinâmica do FEM até a frequência de truncamento selecionada pelo usuário para os modos normais. A redução dos DoFs e, portanto, da eficiência computacional, surge do número de modos mantidos (k) sendo significativamente menor que o número de DoFs FEM internos.
Para permitir grandes deslocamentos/rotações do DMM, quatro coordenadas são adicionadas ao RFMB acima para rastrear grandes rotações. Esses quatérnios substituem os modos de corpo rígido que são válidos apenas para rotações infinitesimais. Com este processo, o RFMB é transformado em uma subestrutura dinâmica não linear (NDS). Os algoritmos de solução também precisam ser modificados de acordo para permitir iterações de equilíbrio, uma vez que o problema agora é altamente não linear. Como exemplo, considere o modelo de viga cantilever indeformada (Figura 2) composto por 20 DMMs (DMM único de uma viga composta por 5 elementos CBAR repetidos 20x).
Um momento é aplicado na extremidade livre (extremidade direita) da Figura 2. Embora a teoria de pequenos deslocamentos seja limitada e se quebre após alguns graus de rotação, a viga cantilever pode ser completamente enrolada usando NDS (ver Figura 3) em uma simulação dinâmica altamente não linear. Observe também que toda a simulação dinâmica não linear foi executada em segundos em um laptop e incluiu todos os efeitos dinâmicos. Da mesma forma, a viga pode ser dobrada em uma “catenária”.2”forma ativando a gravidade e aplicando deslocamentos em cada extremidade para o local de acoplamento necessário (veja a Figura 4).
Uma aplicação para esta capacidade de grande deslocamento/rotação do NDS tem sido incluir modelos umbilicais na estrutura de análise de cargas acopladas (CLA). A Figura 5 mostra o umbilical do Estágio Provisório de Propulsão Criogênica (ICPS) que foi integrado ao CLA do Sistema de Lançamento Espacial (SLS). O SLS CLA é um conjunto integrado de vários DMMs componentes (boosters, estágio central, lançador móvel (ML), estágio superior, etc.) aos quais o umbilical ICPS (ICPSU) e suas mangueiras como DMMs NDS podem agora ser adicionados. Para cada mangueira, uma extremidade se conecta ao veículo SLS e a outra extremidade à estrutura ML. Como exemplo, a Figura 6 mostra a evolução das deformações da mangueira de ventilação dianteira (modelada com 20 DMMs NDS) à medida que ela passa da geometria não deformada (linha reta) para sua geometria de pré-lançamento durante a configuração da condição inicial no CLA.
À medida que o comando temporizado para a separação do umbilical é dado, a placa de aterramento do lado do veículo se separa (usando o algoritmo de contato/separação Henkel-Mar) e o pórtico ML gira o umbilical de separação para longe do veículo já em elevação (o pórtico foi trazido para o CLA como um NDS capaz de grandes rotações). A Figura 7 captura a dinâmica da mangueira de ventilação frontal pós-separação (extraída do CLA). A partir disso, podem ser calculadas 100 folgas da mangueira ICPSU até o veículo de elevação.
O poder dos modelos de ordem reduzida não termina com a dinâmica linear. É possível introduzir grandes deslocamentos e rotações em modelos de ordem reduzida para permitir a integração perfeita em grandes análises dinâmicas de sistemas integrados subestruturados, como um CLA. Para o caso específico do SLS, essa capacidade nos permitiu integrar umbilicais ao CLA para capturar com mais precisão o impacto das flexibilidades do sistema, resposta dinâmica às funções de forçamento, efeitos de “twang” de separação de almofadas, dinâmica de ML e temporizações de pórtico/umbilical nas folgas.
Para obter informações, entre em contato com o Dr. Dexter Johnson. dexter.johnson@nasa.gov
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